矩阵的幂怎么算？

时间： 发布人：jingtao999111
矩阵的幂怎么算？

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谷歌jingtao999111用户在提交了关于“张译矩阵的幂怎么算？”的提问，欢迎大家涌跃发表自己的观点。目前共有1个回答，最后更新于2025-01-25T02:06:58。希望大家能够帮助她。

详细问题描述及疑问：期待您的答案，千言万语,表达不了我的感激之情,我已铭记在心 ！

希望以下的回答，能够帮助你。

第1个回答

用户名：xiaohuai7777  

有下面三种情况：

1、如果你所要求的是一般矩阵的高次幂的话，是没有捷径可走的，只能够一个个去乘出来。

至于低次幂，如果能够相似对角化，即：存在简便算法的话，在二阶矩阵的情况下简便算法未必有直接乘来得快，所以推荐直接乘。

2、如果你要求的是能够相似对角化的矩阵的高次幂的话，是存在简便算法的。

设要求矩阵A的n次幂，且A=Q^(-1)*Λ*Q，其中Q为可逆阵，Λ为对角阵。

即：A可以相似对角化。那么此时，有求幂局握乙都孔临阿因公式：A^n=Q^(-1)*(Λ)^n*Q，而对角阵求n次方，只需要每个对角元素变为n次方即可，这样就可以快速求出二阶矩阵A的的高次幂。

3、如果矩方助演敌天办那从弦钱阵可以相似对角化，求相似对角化的矩阵Q的伟巴检渐前看棉具体步骤为：

求|λE-A|=0(其中E为单位阵)的解，得知殖办时且亲λ1和λ2（不管是否重根），这就是Λ矩阵的对角元素。

依次把两素赶治交跟细或件饭λ1和λ2带入方程（如卫选油取胞真困屋果λ是重根只需代一次，就可求得两个基础解）[λE-A][x]=[0]，求得两个解向量[x1]、[x2]，从而矩阵Q的形式就是[x1x2]。

接下来的求逆运算是一种基础运算，这里不再赘述。

下面可以举一个例子：

二阶方阵：

1a

01

求它的n次方矩阵

方阵A的k次幂定义为k个A连乘:A^k=AAA(k个)

一些常用的性质有：

1.(A^m)^n=A^mn

2.A^mA^n=A^(m+n)

一般计算的方法有：

1.计算A^2,A^3找规律,然后用归纳法明

2.若r(A)=1,则A条微木危迫端限马县只=αβ^T,A^n=(β^Tα)^半可充作绍写专全体(n-1)A

注:β^Tα=α^Tβ=tr(αβ^T)

3.分拆法:A=B+C,BC=CB,用二项式公式展开

适用于B^n易计算,C的低次幂为零矩阵:C^2或C^3=0.

4.用对角化A=P^-1diagP

A^n=P^种斤音-1diag^nP

扩展**：

幂等矩阵的主要性质：

1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；

2.幂等矩阵可对角化；

3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)；

4.可逆的幂等矩阵为E；

5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；

6.幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0；

7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)；

8.A硫更明政的核N(A)等于(E移标的杨掌易犯随多-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考虑幂等矩阵运算后仍降为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：

1）设A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2)为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2=A2·A1=0，且有：R(A1+该免代四案冷易换地A2)=R(A1)⊕R(A2)；N(A1+A2)=N(A1)∩N(A2)；

2）设A1，A2都是幂等矩阵，则(A1-A2)为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2=A2·A1=A2，且有：R(A这引1-A2)=R(A1)∩N(A2)；N(A1-A2)=N(A1)⊕R(A2)；

3）设A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2=A2·A1，则A1·A2为幂等矩阵，且有：R(A1·A2)=R(A1)∩R(A2)；N(A1·A2)=建N(A1)+N(A2)。